Слайд 1

И древние исламские узоры

Мозаика Пенроуза

Презентацию выполнила ученица 7Б класса ЦО №1679 Жердер Марина. Руководители проекта Синюкова Е.В. и Жердер В.М.

Слайд 2

Что такое мозаика

Мозаика представляет собой узор, собранный из плиток разных форм. Ими можно замостить бесконечную плоскость без пробелов.

Слайд 3

Периодическая мозаика-это мозаика, рисунок которой повторяется через равные промежутки. Непериодическая мозаика-это мозаика, рисунок которой может повторяться через неравные промежутки.

Слайд 4

Мозаики в природе

В природе также много примеров периодической мозаики. В основном это кристаллы твёрдых веществ - например: Кристалл соли Кристалл алмаза Кристалл графита Кристалл графена

Слайд 5

Мозаики в картинах Эшера

Мозаики - важная тема в искусстве. Художник М.К.Эшер известен своими мозаиками и не реальными картинами.

Слайд 6

Что же такое мозаика Пенроуза?

В 1973 году английский математик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) создал особенную мозаику из геометрических фигур, которая так и стала называться - мозаикой Пенроуза.

Слайд 7

Многоугольные плиты мозаики

Мозаика Пенроуза представляет собой мозаику, собранную из многоугольных плиток двух определённых форм.

Слайд 8

Симметрия мозаики

Получающееся изображение выглядит так, будто является неким "ритмическим" орнаментом – картинкой, обладающей трансляционной симметрией.

Слайд 9

Симметрия

Трансляционная симметрия означает, что в узоре можно выбрать определённый кусочек, который можно "копировать" на плоскости, а затем совмещать эти "дубликаты" друг с другом параллельным переносом.

Слайд 10

Структура Мозаик

Однако, если присмотреться, можно увидеть, что в узоре Пенроуза нет таких повторяющихся структур – он непериодичен. Но дело отнюдь не в оптическом обмане, а в том, что мозаика не хаотична: она обладает вращательной симметрией пятого порядка.

Слайд 11

Минимальный угол

Это значит, что изображение можно поворачивать на минимальный угол, равный 360 / n градусам, где n – порядок симметрии, в данном случае n = 5. Следовательно, угол поворота, который ничего не меняет, должен быть кратен 360 / 5 = 72 градусам.

Слайд 12

Необычное явление

В 1984 году Дэн Шехтман занимаясь изучением строения алюминиево-магниевого сплава, обнаружил, что на атомной решётке этого вещества происходит необычное для кристаллов физическое явление.

Слайд 13

«Неправильные» кристаллы

Образец вещества, подвергнутый специальному методу быстрого охлаждения, рассеивал пучок электронов так, что на фотопластинке образовывалась ярко выраженная дифракционная картина с симметрией пятого порядка в расположении дифракционных максимумов (симметрия икосаэдра).

Слайд 14

Квазикристаллы

Учёные договорились о том, что данный вариант будет назваться квазикристаллами – чем-то вроде особого состояния вещества. И для него уже давно была готова математическая модель - мозаика Пенроуза.

Слайд 15

В 2007 году физики Питер Лу и Пол Стейнхардт опубликовали в журнал Science статью, посвящённую мозаикам Пенроуза.

Публикация 2007года

Слайд 16

Интерес к квазикристалам

Казалось бы, неожиданного тут немного: открытие квазикристаллов привлекло живой интерес к данной теме, что привело к появлению кучи публикаций в научной прессе.

Слайд 17

Узоры в Азии

Однако изюминка работы в том, что она посвящена далеко не современной науке. Да и вообще - не науке. Питер Лу обратил внимание на узоры, покрывающие мечети в Азии, построенные ещё в Средневековье.

Слайд 18

В исламском орнаменте выделяют два стиля: Гирих (перс.) – сложный геометрический орнамент, составленный из стилизованных в прямоугольные и полигональные фигуры линий. В большинстве случаев используется для внешнего оформления мечетей и книг в крупном издании.

Стили. Гирих

Слайд 19

Ислими (перс.) – вид орнамента, построенного на соединении вьюнка и спирали. Воплощает в стилизованной или натуралистической форме идею непрерывно развивающегося цветущего лиственного побега. Наибольшее распространение он получил в одежде, книгах, внутренней отделке мечетей, посуде.

Слайд 20

Мозаики Узбекистана

Находясь во время путешествия в Узбекистане, Лу заинтересовался узорами мозаик, украшавшими местную средневековую архитектуру, и приметил в них что-то знакомое.

Обложка Корана 1306-1315 годов и прорисовка геометрических фрагментов, на которых основан узор.

Слайд 21

Мозаики разных стран

Вернувшись в Гарвард, учёный стал рассматривать аналогичные мотивы в мозаиках на стенах средневековых построек Афганистана, Ирана, Ирака и Турции.

Слайд 23

Схемы гирихов

Питер Лу обнаружил, что геометрические схемы гирихов практически одинаковы, и смог выделить основные элементы, использовавшихся во всех геометрических орнаментах. Кроме того, он нашёл чертежи этих изображений в старинных манускриптах, которыми древние художники пользовались в качестве своеобразной шпаргалки по украшению стен.

Слайд 24

Порядок построения

Для создания этих узоров применяли не простые, случайно придуманные контуры, а фигуры, которые были расположены в определённом порядке. Древние узоры оказались точными построениями мозаик Пенроуза!

Слайд 25

В исламской традиции существовал строгий запрет на изображение людей и животных, поэтому в оформлении зданий большую популярность приобрёл геометрический орнамент.

Исламские традиции

Слайд 26

Секрет древних мастеров

Средневековые мастера делали его разнообразным. Но в чём был секрет их "стратегии" – никто не знал. Так вот, секрет как раз оказывается в использовании специальных мозаик, которые могут, оставаясь симметричными, заполнять плоскость, не повторяясь.

Мозаика Пенроуза, плитки Пенроуза - непериодическое разбиение плоскости, апериодические регулярные структуры, замощение плоскости ромбами двух типов - с углами 72° и 108° («толстые ромбы») и 36° и 144° («тонкие ромбы»), такими (подчиняются пропорции «золотого сечения»), что любые два соседних (то есть имеющих общую сторону) ромба не образуют вместе параллелограмм. Названа в честь Роджера Пенроуза, интересовавшегося проблемой «замощения», то есть заполнения плоскости фигурами одной формы без зазоров и перекрываний.

Все такие замощения непериодичны и локально изоморфны друг другу (то есть любой конечный фрагмент одной мозаики Пенроуза встречается в любой другой). «Самоподобие» - можно так объединить соседние плитки мозаики, чтобы снова получилась мозаика Пенроуза.

Несколько отрезков можно нарисовать на каждой из двух плиток так, что при выкладывании мозаики концы этих отрезков совместятся и на плоскости образуются несколько семейств параллельных прямых линий (полосы Аммана).

Расстояния между соседними параллельными прямыми принимают ровно два различных значения (а для каждого семейства параллельных прямых последовательность этих значений обладает самоподобием).

Мозаики Пенроуза, имеющие дыры, покрывают всю плоскость, за исключением фигуры конечной площади. Увеличить дыру, сняв несколько (конечное число) плиток, после чего замостить непокрытую часть полностью, нельзя.

Задача решается замощением фигурами, создающими периодически повторяющийся рисунок, но Пенроуз хотел отыскать именно такую фигуру, которая при замощении плоскости не создавала бы повторяющихся узоров. Считалось, что нет таких плиток, из которых строились бы только непериодические мозаики. Пенроуз подбирал множество плиток различной формы, в итоге их оказалось только 2, имеющих «золотое сечение», которое лежит в основе всех гармоничных соотношений. Это фигуры ромбовидной формы с углами 108° и 72°. Позже фигуры упростились до формы просто ромба (36° и 144°), в основе лежит принцип «золотого треугольника».

Получившиеся узоры имеют квазикристаллическую форму, которая имеет осевую симметрию 5-го порядка. Структура мозаики связана с последовательностью Фибоначчи.
( Википедия)

Мозаика Пенроуза. Белой точкой отмечен центр поворотной симметрии 5-го порядка: поворот вокруг нее на 72° переводит мозаику саму в себя.

Цепочки и мозаики (журнал Наука и жизнь, 2005 №10)

Вначале рассмотрим следующую идеализированную модель. Пусть в равновесном состоянии частицы расположены вдоль оси переноса z и образуют линейную цепочку с переменным периодом, изменяющимся по закону геометрической прогрессии:

аn = a1·Dn-1,

где a1 - начальный период между частицами, n - порядковый номер периода, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1,6180339… - число золотой пропорции.

Построенная цепочка частиц служит примером одномерного квазикристалла с дальним порядком симметрии. Структура абсолютно упорядочена, наблюдается систематичность в расположении частиц на оси - их координаты определяются одним законом. Вместе с тем нет повторяемости - периоды между частицами различны и все время возрастают. Поэтому полученная одномерная структура не обладает трансляционной симметрией, и вызвано это не хаотическим расположением частиц (как в аморфных структурах), а иррациональным отношением двух соседних периодов (D - число иррациональное).

Логическим продолжением рассмотренной одномерной структуры квазикристалла служит двухмерная структура, которую можно описать методом построения непериодических мозаик (узоров), состоящих из двух различных элементов, двух элементарных ячеек. Такую мозаику разработал в 1974 году физик-теоретик из Оксфордского университета Р. Пенроуз. Он нашел мозаику из двух ромбов с равными сторонами. Внутренние углы узкого ромба равны 36° и 144°, широкого ромба - 72° и 108°.

Углы этих ромбов связаны с золотой пропорцией, которая алгебраически выражается уравнением х2 - х - 1 = 0 или уравнением у2 + у - 1 = 0. Корни этих квадратных уравнений можно записать в тригонометрическом виде:

x1 = 2cos36°, x2 = 2cоs108°,
y1 = 2cos72°, y2 = cos144°.

Такой нетрадиционный вид представления корней уравнений показывает, что эти ромбы можно назвать узким и широким золотыми ромбами.

В мозаике Пенроуза плоскость закрывается золотыми ромбами без пропусков и перекрытий, и ее можно беспредельно расстилать в длину и ширину. Но для построения бесконечной мозаики надо соблюдать определенные правила, существенно отличающиеся от однообразного повторения одинаковых элементарных ячеек, составляющих кристалл. Если правило подгонки золотых ромбов нарушить, то через некоторое время рост мозаики прекратится, так как появятся неустранимые несогласования.

В бесконечной мозаике Пенроуза золотые ромбы располагаются без строгой периодичности. Однако отношение числа широких золотых ромбов к числу узких золотых ромбов точно равно золотому числу D = (1 + √5)/2= = 1,6180339…. Поскольку число D иррациональное, в подобной мозаике нельзя выделить элементарную ячейку с целым числом ромбов каждого вида, трансляцией которой можно было бы получить всю мозаику.

Мозаика Пенроуза имеет свою особую прелесть и как объект занимательной математики. Не вдаваясь во все аспекты этого вопроса, отметим, что даже первый шаг - построение мозаики - достаточно интересен, так как требует внимания, терпения и определенной сообразительности. А уж массу выдумки и фантазии можно проявить, если сделать мозаику разноцветной. Раскраску, превращающуюся сразу в игру, можно выполнить многочисленными оригинальными способами, варианты которых представлены на рисунках (внизу). Белой точкой отмечен центр мозаики, поворот вокруг которого на 72° переводит ее саму в себя.

Мозаика Пенроуза - великолепный пример того, как красивое построение, находящееся на стыке различных дисциплин, обязательно находит себе применение. Если узловые точки заменить атомами, мозаика Пенроуза станет хорошим аналогом двухмерного квазикристалла, так как имеет много свойств, характерных для такого состояния вещества. И вот почему.

Во-первых, построение мозаики реализуется по определенному алгоритму, вследствие чего она оказывается не случайной, а упорядоченной структурой. Любая ее конечная часть встречается во всей мозаике бесчисленное множество раз.

Во-вторых, в мозаике можно выделить много правильных десятиугольников, имеющих совершенно одинаковые ориентации. Они создают дальний ориентационный порядок, названный квазипериодическим. Это означает, что между удаленными структурами мозаики существует взаимодействие, которое согласовывает расположение и относительную ориентацию ромбов вполне определенным, хотя и неоднозначным способом.

В-третьих, если последовательно закрасить все ромбы со сторонами, параллельными какому-либо выбранному направлению, то они образуют серию ломаных линий. Вдоль этих ломаных линий можно провести прямые параллельные линии, отстоящие друг от друга приблизительно на одинаковом расстоянии. Благодаря этому свойству можно говорить о некоторой трансляционной симметрии в мозаике Пенроуза.

В-четвертых, последовательно закрашенные ромбы образуют пять семейств подобных параллельных линий, пересекающихся под углами, кратными 72°. Направления этих ломаных линий соответствуют направлениям сторон правильного пятиугольника. Поэтому мозаика Пенроуза имеет в какой-то степени поворотную симметрию 5-го порядка и в этом смысле подобна квазикристаллу.

В 1973 году английский математик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) создал особенную мозаику из геометрических фигур, которая так и стала называться - мозаикой Пенроуза.
Мозаика Пенроуза представляет собой узор, собранный из многоугольных плиток двух определённых форм (немного различающихся ромбов). Ими можно замостить бесконечную плоскость без пробелов.

Мозаика Пенроуза в версии её создателя.
Она собрана из ромбов двух типов,
один – с углом 72 градуса, другой – с углом 36 градусов.
Картина получается симметричная, но не периодичная.

Получающееся изображение выглядит так, будто является неким "ритмическим" орнаментом – картинкой, обладающей трансляционной симметрией. Такой тип симметрии означает, что в узоре можно выбрать определённый кусочек, который можно "копировать" на плоскости, а затем совмещать эти "дубликаты" друг с другом параллельным переносом (проще говоря, без поворота и без увеличения).

Однако, если присмотреться, можно узреть, что в узоре Пенроуза нет таких повторяющихся структур – он апериодичен. Но дело отнюдь не в оптическом обмане, а в том, что мозаика не хаотична: она обладает вращательной симметрией пятого порядка.

Это значит, что изображение можно поворачивать на минимальный угол, равный 360 / n градусам, где n – порядок симметрии, в данном случае n = 5. Следовательно, угол поворота, который ничего не меняет, должен быть кратен 360 / 5 = 72 градусам.

Примерно десятилетие выдумка Пенроуза считалась не более чем милой математической абстракцией. Однако в 1984 году Дэн Шехтман (Dan Shechtman), профессор израильского технологического института (Technion), занимаясь изучением строения алюминиево-магниевого сплава, обнаружил, что на атомной решётке этого вещества происходит дифракция.

Предыдущие представления, существовавшие в физике твёрдого тела, исключали такую возможность: структура дифракционной картины обладает симметрией пятого порядка. Её части нельзя совмещать параллельным переносом, а значит, это вовсе никакой не кристалл. Но дифракция характерна как раз для кристаллической решётки! Учёные договорились о том, что данный вариант будет назваться квазикристаллами – чем-то вроде особого состояния вещества. Ну а вся красота открытия в том, что для него уже давно была готова математическая модель - мозаика Пенроуза.

А совсем недавно стало понятно, что этой математической конструкции намного больше лет, чем можно было себе представить. В 2007 году Питер Лу (Peter J. Lu), физик из Гарварда (Harvard University) за компанию с другим физиком - Полом Стейнхардтом (Paul J. Steinhardt), но из Принстона (Princeton University), - опубликовал в Science статью, посвящённую мозаикам Пенроуза. Казалось бы, неожиданного тут немного: открытие квазикристаллов привлекло живой интерес к данной теме, что привело к появлению кучи публикаций в научной прессе.

Однако изюминка работы в том, что она посвящена далеко не современной науке. Да и вообще - не науке. Питер Лу обратил внимание на узоры, покрывающие мечети в Азии, построенные ещё в Средневековье. Эти легко узнаваемые рисунки сделаны из мозаичной плитки. Они называются гирихи (от арабского слова "узел") и представляют собой геометрический орнамент, характерный для исламского искусства и состоящий из многоугольных фигур.

Образец выкладки плитки, показанный в арабском манускрипте XV века.
Цветами исследователи выделили повторяющиеся области.
На основе этих пяти элементов выстроены все геометрические узоры
средневековых арабских мастеров. Повторяющиеся элементы
не обязательно совпадают с границами плиток.

В исламском орнаменте выделяют два стиля: геометрический – гирих, и растительный – ислими.
Гирих (перс.) – сложный геометрический орнамент, составленный из стилизованных в прямоугольные и полигональные фигуры линий. В большинстве случаев используется для внешнего оформления мечетей и книг в крупном издании.
Ислими (перс.) – вид орнамента, построенного на соединении вьюнка и спирали. Воплощает в стилизованной или натуралистической форме идею непрерывно развивающегося цветущего лиственного побега и включает в себя бесконечное разнообразие вариантов. Наибольшее распространение он получил в одежде, книгах, внутренней отделке мечетей, посуде.

Обложка Корана 1306-1315 годов и прорисовка геометрических фрагментов,
на которых основан узор. Этот и следующий примеры не соответствуют
решёткам Пенроуза, но обладают вращательной симметрией пятого порядка

До открытия Питера Лу считалось, что древние архитекторы создавали узоры гириха c помощью линейки и циркуля (если вообще не по наитию). Однако пару лет назад, находясь во время путешествия в Узбекистане, Лу заинтересовался узорами мозаик, украшавшими местную средневековую архитектуру, и приметил в них что-то знакомое. Вернувшись в Гарвард, учёный стал рассматривать аналогичные мотивы в мозаиках на стенах средневековых построек Афганистана, Ирана, Ирака и Турции.

Этот образец датирован более поздним периодом – 1622 год (индийская мечеть).
Глядя на него и прорисовку его структуры, нельзя не восхититься трудолюбию
исследователей. И, конечно же, самих мастеров.

Питер Лу обнаружил, что геометрические схемы гирихов практически одинаковы, и смог выделить основные элементы, использовавшихся во всех геометрических орнаментах. Кроме того, он нашёл чертежи этих изображений в старинных манускриптах, которыми древние художники пользовались в качестве своеобразной шпаргалки по украшению стен.
Для создания этих узоров применяли не простые, случайно придуманные контуры, а фигуры, которые были расположены в определённом порядке. Древние узоры оказались точными построениями мозаик Пенроуза!

На этих снимках выделены одинаковые области,
хотя это и фотографии из самых разных мечетей

В исламской традиции существовал строгий запрет на изображение людей и животных, поэтому в оформлении зданий большую популярность приобрёл геометрический орнамент. Средневековые мастера умудрялись как-то делать его разнообразным. Но в чём был секрет их "стратегии" – никто не знал. Так вот, секрет как раз оказывается в использовании специальных мозаик, которые могут, оставаясь симметричными, заполнять плоскость, не повторяясь.

Другой "фокус" этих изображений в том, что, "копируя" такие схемы в различных храмах по чертежам, художники неизбежно должны были бы допустить искажения. Но нарушения данного характера минимальны. Объясняется это только тем, что в масштабных чертежах смысла не была: главное – принцип, по которому строить картину.

Для сборки гирихов применяли плитки пяти видов (десяти- и пятиугольные ромбы и "бабочки"), которые в мозаике составлялись, прилегая друг к другу без свободного пространства между ними. Мозаики созданные из них, могли обладать как сразу вращательной и трансляционной симметрией, так и только вращательной симметрией пятого порядка (то есть являлись мозаиками Пенроуза).

Фрагмент орнамента иранского мавзолея 1304 года. Справа – реконструкция гирихов

Исследовав сотни фотографий средневековых мусульманских достопримечательностей, Лу со Стейнхардтом смогли датировать появление подобной тенденции XIII веком. Постепенно этот способ приобретал всё большую популярность и к XV веку стал широко распространённым. Датировка примерно совпадает с периодом развития техники декорирования дворцов, мечетей, различных важных зданий глазурованной цветной керамической плиткой в форме различных многоугольников. То есть керамическую плитку специальных форм создавали именно для гирихов.

Образцом почти идеальной квазикристаллической структуры исследователи посчитали святилище имама Дарб-и в иранском городе Исфахане, датируемое 1453 годом.

Портал святилища имама Дарб-и в Исфахане (Иран).
Здесь друг на друга наложены сразу две системы гирихов.

Колонна внутреннего двора мечети в Турции (около 1200 года)
и стены медресе в Иране (1219 год). Это ранние произведения,
и в них используется всего два структурных элемента, найденных Лу

Теперь остается найти ответы на ряд загадок в истории гириха и мозаик Пенроуза. Каким образом и для чего древние математики открыли квазикристаллические структуры? Придавали ли средневековые арабы мозаикам какой-то иной смысл, кроме художественного? Почему столь интересная математическая концепция была забыта на полтысячелетия? И самое интересное - какие еще современные открытия являются новым, которое на самом деле - хорошо забытое старое?

О существовании мозаики Пенроуза знает далеко не каждый, а тем более о том, что эта удивительная мозаика иногда находится буквально под ногами.
Когда мы с мужем гостим в семье сына в Финляндии, конечно же, гуляем по уютному и ухоженному городу Хельсинки. В программу нашего пребывания обязательно включается посещение магазина Академической книги Akateeminen Kirjakauppa, расположенного в центре на улице Keskuskatu, что по-русски означает Центральная улица. Посещение этого книжного магазина доставляет нам эстетическое удовольствие и, хотя книги в Финляндии стоят дорого, всегда хочется купить хоть небольшую красиво иллюстрированную книжечку о цветах и растениях.
Однажды сын, математик по специальности, посоветовал нам при прогулке по этой пешеходной улице внимательно рассмотреть мощение поверхности плитками . Он объяснил, что это мозаика Пенроуза .

Все мы, разумеется, видели кафельную плитку. Чаще всего она бывает квадратной формы. Из плиток выкладывают различные красивые узоры.

Иногда используют плитки разных форм и размеров, но общий вид покрытия поверхности всё равно квадратный.

Иногда плитки укладывают со сдвигом, или используют неквадратные плитки

Но все эти узоры всё равно состоят из повторяющихся частей

На улице Keskuskatu в Хельсинки плитки уложены так, что узор не повторяется .

До 1964 г. никто не верил, что можно придумать такой набор плиток, которыми можно замостить плоскость, не повторяя узора.
В 1964 г. математик Robert Berger придумал такой набор. К сожалению, в этом наборе было 20426 плиток разных форм и размеров.
Почти сразу он же придумал, как уменьшить количество разных плиток в наборе до 104 видов.
В 1968 году знаменитый математик Donald Knuth уменьшил количество разных плиток до 92.

В 1971 году Raphael Robinson придумал такой набор всего лишь из шести плиток, которыми можно замостить плоскость без повторений. Но вряд ли вы захотите использовать их в вашей ванной комнате.

В 1973 году английский математик Roger Penrose придумал набор из шести красивых плиток. Если покрыть этими плитками даже очень большой пол, узор не повторится.

Настоящая же известность пришла к Roger Penrose, когда он обнаружил, что достаточно всего двух типов плиток, чтобы создать неповторяющийся узор. Эти плитки представляют собой геометрические фигуры - ромбы, несколько отличающиеся друг от друга.
Это фотография математика Roger Penrose на фоне поверхности, покрытой неповторяющимся узором.
Замощение плоскости неповторяющимся орнаментом из плиток теперь называют мозаикой Пенроуза .

Полученное замощение имеет такой вид, как будто мозаика обладает определённым свойством симметрии, когда некоторую часть геометрического узора можно переносить параллельно, не поворачивая, и части совмещать друг с другом.

На самом же деле при внимательном рассмотрении мозаики Пенроуза можно заметить, что узор не имеет периодичности, в то же время узор не является хаотичным. Симметрия геометрического узора Пенроуза называется вращательной, а строго математически, пятого порядка.

В течение примерно десяти лет математическое изобретение Roger Penrose не имело прикладного значения и было известно в основном математикам. Но израильский профессор Dan Shechtman в 1984 году, изучающий физику твёрдого тела, обнаружил дифракцию того самого пятого порядка на атомной решётке алюминиево-магниевого сплава. При обсуждении этого явления учёные приняли в качестве математической модели уже известную мозаику Пенроуза.

В дальнейшем выяснилось, что покрытие поверхности геометрическими фигурами без промежутков или наложений друг на друга широко применялось в исламском искусстве ещё в средние века. В Азии мозаичными геометрическими орнаментами покрывали мечети. В старинных манускриптах найдены схемы, свидетельствующие о том, что узоры, украшающие стены не являются хаотичными, а состоят из определённых фигур, расположенных в строгом порядке. Поскольку исламское искусство находилось под запретом изображения животных или человека, то древние мастера украшали храмы геометрическими орнаментами.
Вызывает восхищение и удивление большое разнообразие неповторяющихся орнаментов. Причина кроется как раз в том, что использовались специальные виды мозаики, многие из которых обладали той самой вращательной симметрией пятого порядка, и фактически являлись мозаиками Пенроуза. Можно предположить, что роль математики была очень важна в средневековом искусстве Ислама.

Ниже я предлагаю для просмотра фотографии плиточного покрытия мозаикой Пенроуза пешеходной улицы Keskuskatu в Хельсинки. Поверхность покрыта плитками без промежутков или наложений, при этом узор нигде не повторяется .